№ 1
В университетскую библиотеку привезли новые учебники по математическому анализу для 1-2 курсов, по 460 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
Ваш ответ:
№ 3
При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 8 тонн природного камня и 12 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 6 тонн щебня и 43 мешка цемента. Тонна камня стоит 1500 рублей, щебень стоит 700 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 250 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешёвый вариант?
Ваш ответ:
№ 5
В сборнике билетов по географии всего 50 билетов, в 10 из них встречается вопрос по регионам России. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по регионам России.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения \(\log_{x -7} 27=3\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Ваш ответ:
№ 7
В треугольнике ABC угол C равен \(90^\circ\), \(AB=5\), \(BC=3 \). Найдите \(\cos A\).
Ваш ответ:
№ 9
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) \(M\) — середина ребра \(AB\), \(S\) — вершина. Известно, что \(SM=3\), а площадь боковой поверхности равна 18
. Найдите длину отрезка \(BC\).
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения \({{\log }_{3}}8,1+{{\log }_{3}}10\).
Ваш ответ:
№ 11
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0 = 190\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f(v) = \frac{{f_0 }}{{1 - \frac{v}{c}}}\) (Гц), где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются более чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c = 300\) м/с. Ответ выразите в м/с.
Ваш ответ:
№ 12
Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6.
Ваш ответ:
№ 13
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 89 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ:
№ 14
Найдите наибольшее значение функции \(y = 4\cos x+4x -3\) на отрезке \([-\frac{3\pi }{2};0]\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\({12}^{\sin{x}}={4}^{\sin{x}}\cdot{3}^{-\sqrt{3}\cos{x}}\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \([\frac{5\pi}{2};4\pi].\)
№ 16
В правильной треугольной пирамиде \(MABC\) с вершиной \(M\) высота равна \(3\), а боковые рёбра равны \(6\). Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон \(AB\) и \(AC\) параллельно прямой \(MA\).
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} {2}^{x}+17 \cdot {2}^{3-x} \le 25, \\ \frac{x^2-3x-5}{x-4} + \frac{3x^2-15x+2}{x-5} \le 4x+1. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
В окружности проведены хорды \(PQ\) и \(CD\), причем \(PQ = PD = CD = 12\) , \(CQ = 4\). Найдите \(CP\).
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5| \) имеет единственное решение.
№ 21
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет записан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор ? 8 , ? 5 , ? 4 , ? 3 , ? 1 , 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?